Na Figura 01, considera-se uma porção genérica de área S da parede de um reservatório, inclinada de α em relação à horizontal.
A representação adotada é um rebatimento da parede no plano frontal. Assim, na realidade, o eixo X está na superfície do líquido, onde a pressão (relativa) é supostamente nula.
C é o centróide da superfície (ou centro de gravidade, no conceito prático). P é o ponto de atuação da resultante das forças de pressão.
A representação adotada é um rebatimento da parede no plano frontal. Assim, na realidade, o eixo X está na superfície do líquido, onde a pressão (relativa) é supostamente nula.
C é o centróide da superfície (ou centro de gravidade, no conceito prático). P é o ponto de atuação da resultante das forças de pressão.
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Figura 01 |
A magnitude da força F atuante no ponto P é dada por:
Onde γ é o peso específico do líquido.
A coordenada yp do ponto P de aplicação dessa força é:
Onde Jxc é o momento de inércia da superfície S em relação ao eixo XC, que passa pelo centróide.
Da relação #B.1#, pode-se concluir que
Exemplo: Conforme Figura 02, um reservatório de água, peso específico 9,81 kN/m3, tem um tubo de saída com uma tampa articulada em A, formando uma elipse com AB =5 m . Determinar a força F, aplicada em B, necessária para abrir a tampa.
F = pc S = γ yc sen α S #A.1#Onde γ é o peso específico do líquido.
A coordenada yp do ponto P de aplicação dessa força é:
Onde Jxc é o momento de inércia da superfície S em relação ao eixo XC, que passa pelo centróide.
Da relação #B.1#, pode-se concluir que
yp ≈ yc para grandes profundidades (yc grande).Exemplo: Conforme Figura 02, um reservatório de água, peso específico 9,81 kN/m3, tem um tubo de saída com uma tampa articulada em A, formando uma elipse com AB =
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Figura 02 |
A simetria da elipse permite concluir que o centróide C está a uma profundidade
Segundo #A.1#, a força Fp devido à pressão na superfície inclinada é
Ela deve atuar em P, abaixo de C.
O momento de inércia de uma elipse em relação a XC da Figura 01 é
É preciso determinar yc para aplicação da relação #B.1#. Notar que não é a profundidade de C, mas a distância na direção BA até a superfície da água. Da semelhança de triângulos, pode-se concluir que, de A até a superfície, são10 m . Portanto,
Usando a condição de equilíbrio da soma nula dos momentos em A,
8 + 4/2 = 10 m . Portanto, na relação #A.1#,yc sen α = 10 m Área da elipse S = π 2,5 2 ≈ 15,7 m2 Segundo #A.1#, a força Fp devido à pressão na superfície inclinada é
Fp = 9,81 103 10 15,7 ≈ 1540 kNEla deve atuar em P, abaixo de C.
O momento de inércia de uma elipse em relação a XC da Figura 01 é
(1/4) π a3 b. Onde a é o raio perpendicular e b é o raio ao logo desse eixo. Portanto, para este caso,Jxc = (1/4) π 2,53 2 ≈ 24,5 m4É preciso determinar yc para aplicação da relação #B.1#. Notar que não é a profundidade de C, mas a distância na direção BA até a superfície da água. Da semelhança de triângulos, pode-se concluir que, de A até a superfície, são
yc = 10 + 2,5 = 12,5 m . Aplicando #B.1#,CP = yp − yc = Jxc / (yc S) = 24,5 / (12,5 15,7) ≈ 0,125 m Usando a condição de equilíbrio da soma nula dos momentos em A,
F AB = Fp (AC + CP)F 5 = 1540 (2,5 + 0,125)F = 808,5 kN |
Figura 03 |
Exemplo: o reservatório de água da Figura 03 tem supostamente largura de 1 metro na direção perpendicular ao plano da imagem.
Determinar a força de reação FR da parte curva, com perfil em forma de setor circular.
Esse problema poderia ser resolvido por integração das forças de pressão ao longo da superfície curva. Entretanto, é mais fácil adotar o procedimento conforme Figura 04 (a), isto é, isolar a porção de líquido com o perfil da seção e comprimento1 metro .
As forças atuantes devido ao fluido são as forças de pressão nas superfícies superior e lateral, FV e FH.
Há também a força FW correspondente ao peso da porção de líquido. E a reação FR deve ser oposta à resultante dessas três forças.
Determinar a força de reação FR da parte curva, com perfil em forma de setor circular.
Esse problema poderia ser resolvido por integração das forças de pressão ao longo da superfície curva. Entretanto, é mais fácil adotar o procedimento conforme Figura 04 (a), isto é, isolar a porção de líquido com o perfil da seção e comprimento
As forças atuantes devido ao fluido são as forças de pressão nas superfícies superior e lateral, FV e FH.
Há também a força FW correspondente ao peso da porção de líquido. E a reação FR deve ser oposta à resultante dessas três forças.
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Figura 04 |
Para a força FH, a superfície lateral tem 2 × 1 =
FH = 9,81 103 5 sen 90 2 = 98,1 kN Aplicando a fórmula do momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide D,
JD = 1 23 / 12 ≈ 0,67 Usando agora a fórmula #B.1#,
yC = 5 + 0,67 / (5 2) = 5,067 m Assim,
EC = 5,067 − 4 = 1,067 m Desde que a superfície é horizontal, a força FV é a pressão no nível multiplicada pela área:
FV = 9,81 103 4 2 ≈ 78,5 kNNaturalmente, a ação é no centróide do retângulo e
EH = 1 m A força FW é dada pelo peso específico multiplicado pelo volume de líquido:
FW = 9,81 102 (1/4) π 22 1 ≈ 30,8 kNA ação de FW está no centro de gravidade da seção, que, para material homogêneo como este caso, equivale ao centróide. Segundo página Seções planas I-12,
EF = 4 R / (3 π) = 4 2 / (3 π) ≈ 0,85 m Em (b) da Figura 04, F1 é a resultante de FW e FV. A posição da linha de ação (distância EG) é calculada por:
EG = (EF FW + EH FV) / (FW + FV) = (0,85 30,8 + 1 78,5) / (30,8 + 78,5) ≈ 0,96E o valor é a soma
F1 = FW + FV = 30,8 + 78,5 = 109,3 kNCom os valores de FH e F1, o módulo de FR é calculado de acordo com as regras da soma vetorial de dois vetores perpendiculares entre si:
FR = √(98,12 + 109,32) ≈ 146,9 kNA inclinação é
φ = tan−1 (−109,3/98,1) ≈ 132°
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